Nel flusso di Couette tra due cilindri, se a ruotare è il cilindro esterno, non succede nulla di strano, ma se ruota il cilindro interno, all’aumentare della velocità, il fluido si rompe in bande orizzontali.

Ora se aumentiamo la velocità, prima il numero delle bande cresce, poi superata una velocità critica, le bande tendono a spostarsi attorno al cilindro.

E’ facile misurare la velocità di queste onde: Per elevate velocità di rotazione essa tende esattamente ad un terzo della velocità del cilindro interno.

Questo è quello che la fisica non riesce a spiegare

Vediamo allora di capire del perché si formano queste bande e dell’esatto valore di un terzo.

Dalla teoria cinetica dei gas sappiamo che per un gas, almeno per la determinazione della pressione, si parte dalla fig:

E si dice:

Se la generica particella nel suo percorso non trovare ostacoli rimbalza sulla faccia A₁ del cubo, la componete della velocità cambia di segno, senza nessun effetto su v_y e v_z, così che la variazione Δp della quantità di moto della particella sarà

                                   Δp= p_f-p_i=-mv_x-(-mv_x)= -2mv_x

Quantità di moto normale alla faccia A₁ considerata, supponiamo ora che la particella sempre senza urtare raggiunga la faccia A₂, il tempo per attraversare il lato del cubo sarà l/v_x.

Quindi il numero di collisioni sulla faccia A₁ per unità di tempo è v_{x /}2l, così che la quantità di moto che trasmette ad A₁ per unità di tempo è

Tutto questo in estrema sintesi, specificando che la pressione è la media delle variazioni delle quantità di moto nell’unità di tempo e per unità di superficie, per pervenire alla relazione finale che ci da la pressione:

Dove con v_qm si intende la velocità quadratica media della popolazione di particelle, e con il termine 1/3 si fa riferimento al fatto che le particelle si distribuiscono esattamente nelle tre dimensioni.

Pertanto quando vediamo un gas in quiete, potremo sicuramente sempre pensarlo come tre popolazioni di particelle che si muovono con un certo ordine, ed in particolare come in fig.

O meglio come delle celle “Domini”, dove mediamente una particella di massa un terzo dell’intera massa della cella si muove nella direzione dell’asse x con velocità pari alla media quadratica, e così pure per l’asse y e z.

L’unica ipotesi aggiuntiva sarà quella di estendere questo modello anche per un generico fluido, salvo ottenere risultati incongruenti, e dire solo successivamente che il modello è sbagliato.

Tutto questo, almeno per i gas, è accettato e verificato sperimentalmente dalla teoria cinetica dei gas, salvo non specificare cosa succede realmente alle pareti, dove si misura realmente la pressione, in particolare, dove urtano le particelle del fluido? Troppo generico dire che urtano contro la parete piana, pertanto le particelle del fluido dovranno urtare ancora contro altre particelle, e questa volta saranno quelle dalla parete, salvo ancora una volta imporre la conservazione della quantità di moto nell’unità di tempo tra i diversi tipi di particelle.

Pertanto deve essere anche verificato m¹v¹_qmy=mv_qmy

Fatta questa premessa, vediamo cosa succede al generico fluido posto tra due lastre di cui una in movimento, il classico flusso di Couette.

Al solito vediamo cosa dice la fisica classica: Impropriamente dice che la parete trascina elementi di fluido per effetto delle forze viscose, ma vediamo cosa può succedere realmente con il nostro modello.

Sicuramente osserviamo sperimentalmente che lo strato elementare prossimo alla parete “Dominio adiacente alla parete” ha una velocità pari a quella della parete, al limite potremo dire che una lamina di fluido di spessore l ha la stessa velocità della parete.

Pertanto le singole particelle mediamente di massa 1/3, per quanto visto sopra, avranno velocità istantanea:

questo significa che, se analizziamo i tre gruppi di particelle singolarmente, avremo ancora mediamente una particella di massa un terzo che per effetto della sola agitazione termica, prima si muoveva con velocità v_qmx lungo la direzione x, ora si muoverà

Mentre per il terzo di massa che si muove lungo l’asse y si avrà

Analogamente per l’asse z

Questo per potere affermare che se mi muovo in un sistema di riferimento solidale con il gas devo avere come energia totale, la sola energia termica:

Mentre se sono in un sistema solidale con la parete ferma devo osservare per il gas una energia:

Ricordando che l’energia termica non dipende dal sistema di riferimento, mentre quella cinetica dipende dal sistema di riferimento.

Graficamente si può pertanto dire che il precedente reticolo è stato deformato:

Pertanto la cella “Dominio” aderente alla parete ha una velocità pari a quella delle pareti.

Praticamente in ogni “Dominio” la v_qm tende a diventare:

La temperatura tende ad aumentare

Salvo poi, per riottenere l’equilibrio dinamico, la velocità quadratica media tenderà ancora a deformare ulteriormente il reticolo, per fare ulteriormente aumentare la temperatura, riscaldando il fluido e così via, ma tenendo il fluido termostatato, cosa che teoricamente si fa per studiare i flussi di Couette, il reticolo tende ad avere la stessa v_qm, ed a essere deformato alla stessa maniera.

Possiamo ancora dire che sono delle forze viscose, quelle che determina il riscaldamento, ma ora vediamo chiaramente che lo sforzo di taglio è dovuto alla componente assiale degli urti, e quale sia realmente il meccanismo che tende a fare aumentare la temperatura del fluido.

Ma cerchiamo ora di giustificare sia la turbolenza e sia il famoso coefficiente 1/3 che si nota nel flusso di Couette cilindrico senza che la fisica riesce a darne giustificazione.

Per basse velocità della lastra, le singole celle si deformano gradualmente, deformando anche le celle elementari della lastra, ma per le pareti solide questo è sempre possibile?

Ancora per ipotesi ammettiamo che la parete non riesca ad distorcere il proprio reticolo al di la di un certo limite, pertanto aumentando la velocità cosa potrà succedere? Sicuramente non troverà la particella della parete in perfetta fase con quella del fluido, e pertanto si creerà un certo disordine, rispetto all’ordine precedente, pertanto il sistema passa da “Moto laminare”  a  “Moto turbolento”, disordine.

Quello che noi allora osserveremo è un flusso “Non perfettamente ordinato” non perfettamente laminare, ma che sia semplicemente per questo che, superata una certa velocità, si crea la vorticità? Il caos.

Ma cerchiamo di andare avanti con il nostro ragionamento, ed ancora tenderemo a definirlo per assurdo, salvo poi accettarlo se otteniamo dei risultati congrui, pertanto se continuiamo ad aumentare la velocità V della lastra, le particelle della lastra continueranno ad essere sempre più sfasate, fino ad essere perfettamente in opposizione, in perfetta controfase, In questo caso i vortici si sono perfettamente delineati.

E le particelle della lastra saranno perfettamente in controfase:

Praticamente le particelle, sempre mediamente di massa un terzo all’interno del dominio, che avevamo visto, avere prima delle velocità istantanee:

ora avranno come velocità istantanee:

Velocità istantanee di tre popolazioni di particelle che hanno rispettivamente massa 1/3 dell’intera massa della cella considerata.

Pertanto la quantità di moto media totale, che prima era esattamente mv, la stessa media temporale delle quantità di moto, ora sarà:

Ed ecco svelato da dove viene il famigerato fattore un terzo

Noi allora, nei flussi di Couette, in un primo momento cominceremo a vedere delle increspature dovute alla non perfetta sincronizzazione delle singole particelle, ma aumentando la velocità, non appena le particelle del fluido si troveranno perfettamente in controfase con quelle della parete, velocità critica, si avrà:

Nuovamente un moto perfettamente ordinato “Pertanto moto laminare” e di valore esattamente un terzo della velocità della parete

Abbiamo fatto solo delle ipotesi, non riesco a provare se sono esatte, ma giustificano perfettamente la vorticità per alte velocità, e principalmente giustificano il coefficiente di un terzo.

Coefficiente che la fisica, con i suoi modelli adoperati nella fluidodinamica, non riesce assolutamente a giustificare.

 

 

 

 

 

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